Khoa Học Thường Thức

Đồng nhất thức Euler và sự quyến rũ của toán học

Wikicabinet – Kênh thông tin tri thức nhân loại kính chào quý độc giả ở kỳ trước chúng tôi đã giới thiệu các chủ đề về:

Những nhà toán học vĩ đại nhất thế giới

Kỳ này wikicabinet xin giới thiệu đến độc giả một chủ đề Đồng nhất thức Euler và sự quyến rũ của toán học. Mời quý độc giả đón theo dõi chủ đề này cùng wikicabinet nhé!

Nhiều thập kỉ trôi qua, đồng nhất thức Euler vẫn luôn được cộng đồng toán học thế giới ngợi ca là công thức toán học đẹp nhất. Tại sao mọi sự quyến rũ và lôi cuốn của toán học lại xoay quanh công thức Euler? Đó chính là công thức Euler không chỉ bao hàm những ý tưởng toán học sâu sắc mà còn thể hiện những triết lý của vũ trụ.

Chúng ta hiểu được bao nhiêu về công thức Euler?

Nếu bạn sinh ra với bộ não thiên tài của một nhà toán học, chắc chắn bạn phải thốt rằng, công thức nhìn tưởng như đơn giản đó lại có thể thâu tóm những nguyên tắc toán cơ bản nhất.

Nếu bạn chỉ là một người bình thường, đừng lo lắng, wikicabinet sẽ khiến bạn phải đổ rạp trước sự quyến rũ của đồng nhất thức Euler.

Đồng nhất thức Euler hay công thức Euler được tìm ra bởi nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, Leonhard Euler (1707 – 1783) có thể ngang hàng với Newton và Archimedes.

e^(iπ) + 1 = 0

Công thức Euler giống như một viên ngọc quý nổi bật giữa nền toán học lâu đời vốn được cho là khô khan và phức tạp.

Công thức Euler tương đương với công thức được đưa ra bởi Cotes, cụ thể, với mọi số thực x, ta có:

e^(ix) = cosx + isinx

Từ công thức trên, chúng ta có thể suy ra các hàm số cosx và sinx được viết dưới dạng sau:

cos(x) = (1/2)[e^(ix) + e^(-ix)]

sin(x) = (1/2i)[e^(ix) – e^(-ix)]

Đặc biệt khi x = π, chúng ta nhận được e^(iπ) = cos(π) + sin(π) = -1.

Vậy, chúng ta có thể dễ dàng rút gọn thành công thức vĩ đại nhất của toán học:

e^(iπ) + 1 = 0

Gauss từng nói: “Nếu một người lần đầu tiên nhìn thấy công thức này mà không cảm thấy được sự quyến rũ của nó, thì người đó không thể trở thành một nhà toán học được.”

Thật vậy, bạn có thể dễ dàng nhận thấy công thức Euler được kết hợp bởi năm hàng số cơ bản nhất của toán học và tạo nên một công thức tuyệt đẹp từ hình thức cho tới giá trị ẩn chứa bên trong nó.

  1. Số e – Logarit tự nhiên, con số siêu việt tượng trưng cho tự nhiên.
  2. Số π – Pi, con số siêu việt tượng trương cho sự vô hạn, không có điểm kết thúc.
  3. Đơn vị ảo i – tượng trưng cho trí tưởng tượng.
  4. Số 1 – Số thực cơ bản, có tính đồng nhất tích, đại diện cho điểm bắt đầu.
  5. Số 0 – Số thực cơ bản, có tính đồng nhất cộng, đại diện cho điểm kết thúc.

Ngoài ra, đồng nhất thức Euler còn chứa ba phép tính cơ bản và quan trọng của toán học đó là: cộng, nhân và lũy thừa. Mỗi phép tính này đều mang những ý nghĩa tuyệt đẹp. Và ba số i, e, pi vốn chẳng liên quan nhưng thật kì diệu khi chúng được kết hợp trong một đẳng thức vĩ đại như vậy.

  1. Phép tính nhân tượng trưng cho sự kết hợp
  2. Phép tính luỹ thừa tượng trưng cho sự chất chồng.
  3. Phép cộng tượng trưng cho sự bổ sung (tích luỹ).
  4. Dấu bằng tượng trưng cho sự thống nhất.

Phải chăng, khi tìm ra công thức này, Euler muốn gửi gắm tới nhân loại: Tự nhiên chứa đầy những sự tưởng tượng vô hạn, nhưng cuối cùng nó cũng sẽ kết thúc. (Trở về điểm bắt đầu).

Đi tìm sự thật về khởi nguồn của vũ trụ?

Cách đây khoảng 13 tỷ 800 triệu năm, một vụ nổ lớn đã tạo ra không gian, năng lượng và vật chất để hình thành nên vũ trụ của chúng ta. Đó chính là thuyết Big Bang – tiền đề để xây dựng lên bức tranh chính xác về sự hình thành của vũ trụ. Khoảnh khắc đầu tiên của vũ trụ trước khi xảy ra vụ nổ hay điều gì xả ray ngay sau Big bang vẫn luôn là một bài toán khó trả lời. Có lẽ, trước khi vũ trụ của chúng ta được hình thành, nó đã trải qua vô số lần giãn nở và co rút lại.

Nhờ sự phát triển của khoa học công nghệ, các nhà khoa học đã phát hiện ra điểm kì dị với mật độ siêu dày đặc, nóng và đầy năng lượng lúc bắt đầu Big Bang. Phải chăng, điều này chứng tỏ rằng có thời điểm vũ trụ chỉ nằm trong một hạt cực kỳ nhỏ và dày đặc. Liệu rằng, trong tương lại vũ trụ có trở về lúc khởi đầu?

Liên hệ với công thức Euler, sự kết hợp kì diệu của những con số đại diện cho hình học và số ảo có khả năng hé lộ những sự thật đang được ẩn giấu và giúp chúng ta kết nối những khoảng trống giữa trực giác và ứng dụng trong thực tế. Điều này giống như những thiên tài như Mozart hay Beethoven viết một bản giao hưởng cho guitar điện.

Khi tìm ra công thức này, Euler không nghĩ rằng nó lại có giá trị thực tiễn to lớn đến như vậy. Việc áp dụng công thức Euler trong thuyết tương đối rộng đã giải đáp được những ẩn số của tính chất thời gian trong vật lý.

Công thức Euler tổng quát

e ^(ix) = cosx + isinx

Khi “x” tăng, giá trị của công thức Euler sẽ xoay quanh gốc tọa độ và tuần hoàn trong miền đối ứng [-1, 1], điều này chỉ ra rằng sự giãn nở và co lại của vũ trụ là vô hạn.

Giá trị thực tiễn to lớn của công thức Euler

Nhà vật lý học Richard Feynman đã gọi đồng nhất thức Euler là “công thức nổi bật nhất trong toán học”. Những ứng dụng thực tế của công thức này trong kỹ thuật điện và vật lý khiến chúng ta dễ dàng biến đổi các ý tưởng giữa nhiều nhánh khác nhau của toán học.

Sự cuốn hút của công thức Euler không chỉ qua hình thức mà còn thể hiện bởi giá trị thực tiễn to lớn của nó. Những ứng dụng trọng vật lý như nghiên cứu về dòng diện xoay chiều hay khám phá mọi bí ẩn trong từng góc ngách của toán học, không thể thiếu công thức Euler. Đây là một công cụ toán học cần thiết để phân tích các tín hiệu. Nó còn là một công cụ toán học quan trọng để giải các bài toán cơ học lượng tử, sự chuyển đổi toạ độ cực, tích phân mà trong đó không thể không nhắc tới bài toán chia kẹo Euler nổi tiếng. Nghiên cứu bất kỳ chuyển động tròn nào đó sẽ được đơn giản hoá hơn rất nhiều lần khi áp dụng công thức Euler.

Điều khiến cho công thức Euler trở nên vĩ đại nhất trong mọi thời đại chính là trong hành trình tìm kiếm đẳng thức nổi tiếng đó, ông đã phát triển mạnh mẽ của trực giác mình thông qua 2 chế độ suy nghĩ “chế độ 1” (thiên về bản năng và tự động) và “chế độ 2” (thiên về lý trí và suy xét). Bạn có thể tìm hiểu thêm về 2 chế độ suy nghĩ này qua cuốn sách “Tư duy nhanh, Tư duy chậm” của Daniel Kahneman. Từ đó, ông phát hiện thêm nhiều thông tin được mã hóa trong tiềm thức, giúp linh cảm trở nên chính xác hơn.

Những nỗ lực của Euler trong hành trình tìm kiếm ánh sáng của tri thức giúp biến hóa sự khô khan, phức tạp của toán học trở nên quyến rũ và cuốn hút hơn không chỉ đối với các nhà toán học hay những con người bình thường mà còn là nền tảng giúp khoa học công nghệ vươn tới những thành tựu mới.

Trong kỳ tiếp theo, Wikicabinet trân trọng mời độc giả đón đọc chủ đề Những ứng dụng tuyệt vời của toán học.

Nếu có những thắc mắc hay muốn tìm hiểu về bất kỳ chủ đề nào, hãy liên hệ với Wikicabinet bằng cách bình luận ở phía dưới nhé.

Leave a Reply